김낭만

재밌거나 필요하다고 생각하는 걸 만듭니다.

백준(BOJ) 13172 Σ 파이썬(Python)

문제 링크

설명이 엄청 길지만, 그래서 문제 안에 답이 다 있다.
주어진 분수 \(S/N\)에 대해, 이를 기약분수로 나타내고, 문제에서 제시한 방법으로 모듈러 역원을 구해 분수를 대신하는 정수로 변환하면 된다.
문제에서 말하는 것처럼, \(b^{X - 2} \equiv b^{-1} (\mod X)\)이다. 따라서 모듈러 역원을 구하기 위해 주어진 수를 \(1000000005\)로 제곱해 주면 된다.
여기까진 잘 생각했는데, 파이썬의 내장 거듭제곱이 선형적이라는 걸 몰라서 헤매다가 결국 구글을 참조했다.
그러고서야 문제를 깨달았다…
효율적으로 거듭제곱을 하기 위해서는 분할 정복을 사용해야 한다.
예를 들어, \(N^{10}\)은 다음과 같이 표현할 수 있다.
\(N^{10} = (N^5)^2 = (N^4 \times N)^2 = ((N^2)^2 \times N)^2\)
즉, 지수가 짝수일 때는 절반으로 나누고, 홀수일 때는 1을 빼서 분할 정복으로 계산할 수 있다.

from sys import stdin
from math import gcd
input = stdin.readline
X = 1_000_000_007

# 거듭제곱 함수
def sq(n, m):
    if m == 1: return n
    elif m % 2: return n * sq(n, m-1) % X
    temp = sq(n, m //2 )
    return temp * temp % X

m = int(input())
ans = 0
for _ in range(m):
    n, s = map(int, input().split())
    # 기약분수로 만들기
    d = gcd(n, s)
    n //= d
    s //= d
    # 분모의 모듈러 역원 구하기
    mod = sq(n, X-2)
    # 모듈러 역원에 분자 곱하기
    # 곱한 수를 1_000_000_007로 모듈러 연산 하기
    # 나온 답을 더하기
    ans = (ans + (mod * s % X)) % X

print(ans)

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